巴拿赫球面是將2x1維度複數行向量映射到半徑為1的過程方法，條件是二個複數的長度平方和等於1，之所以加這條件是球是三維空間自由度，二個複數有4個自由度，有了這條件等於減掉一個自由度，這樣就有機會找出一對一的關係，也確實如此。量子電腦程式設計課的量子態由這樣的矩陣來代表，老師的教學過程跳過這一步，直接將結果做驗證，當然全部符合，學生學到的只是熟悉計算過程，對於量子態為什麼對應到球面特殊點仍是一頭霧水。找了許久，補充說明：
先將二個複數係數訂為a1, a2, b1, b2，即 a = a1 + a2*i , b = b1 + b2*i 。因上述條件，<a,a> + <b,b> = 1,且球座標用r, theta, phi 做變數，r 又是1 ，所以剩二個角度完全決定座標點坐落何方。其餘過程大學座標對應過程你會的。引入theta，配合尤拉公式，cos(theta) + i * sin(theta)，將 a 長度對應至z，b對應至xy平面的投影。自然b的實部應至x，虛部對應至y，這樣就會是半球和複數2x1維的易理解的對應。但是有一缺憾，就是赤道所有點都代表同一個複數基態 |1>，這缺憾是數學物理學家無法容忍的，於是想出了將半球帳篷繼續下拉變圓球，那麼赤道又漸漸縮小到南廻歸線最終大家匯集至南極，這時又縮回一點了，成為完美對應。
